la relativité restreinte : transformation de Lorentz

 

        Pour passer d’un référentiel à un autre, il faut opérer des transformations. En affirmant que la vitesse de la lumière est constante, Einstein dut passer de la transformation dite de Galilée à la transformation de Lorentz (voir annexe). Nous allons donc d’abord expliquer de la transformation de Galilée et puis détailler celle de Lorentz.

 

        3.2.a. Transformation de Galilée :

       

        Soient deux référentiels    a   et       différents mais dont les axes sont gradués de façon identique. Chaque référentiel possède un garde temps qui mesure   t   dans le référentiel       et    t’             dans le référentiel      b. Ces gardes temps sont synchrones de telle sorte que   t = t’ = 0   au moment où les deux référentiels sont confondus.

        Les coordonnées d’un point    C   dans les deux référentiels sont donc identiques.

        Soit   b   se mouvant par rapport à   a   parallèlement à l’axe des        et dans le sens des   x   positifs. Le point C étant immobile dans le référentiel   a       , les coordonnées de celui-ci dans les deux référentiels vont être différentes.

        Selon l’hypothèse du temps absolu de Newton (les temps s’écoulent de la même manière dans les 2 référentiels) les temps seront donc identiques. Les coordonnées des axes   y et y’ ,   z     et    z’       seront les mêmes étant donné que le mouvement est parallèle à l’axe des      x . Il y a donc moyen d’établir une loi de correspondance pour les coordonnées des référentiels     a et b.

Pour passer des coordonnées du point C   d’un référentiel à celles du même point par rapport à l’autre référentiel, il faut tenir compte du mouvement du référentiel   b   par rapport au référentiel   a .

        Supposons que la mesure de la coordonnée de   C   soit faite au temps      t. Le référentiel   b   se déplaçant à vitesse constante, son origine s’est donc éloignée de celle de    a   d’une distance    v.t  .

        Vu de     a    , la coordonnée x devient alors    x’ + vt’  .

        Vu de    b   , c’est comme si    a     s’éloignait à la vitesse constante    –v    et la coordonnée     x’     est donc égale à    x – vt  .

            En résumé, les transformations de Galilée s’écrivent donc :

3.2.b. Transformation de Lorentz :

       Dans le cas de la transformation de Lorentz, la différence réside dans le fait que l’écoulement du temps est propre à chaque référentiel. Cela signifie en abrégé que le temps   t   du référentiel   a   est différent du temps   t’   du référentiel   b   sauf au moment où les deux référentiels sont confondus ; c’est-à-dire quand  

        t = t’ = 0 . Il nous faut donc trouver une correspondance entre les coordonnées (x,y,z,t) dans   a   et (x’,y’,z’,t’) dans   b . Nous savons que   z = z’   et   y = y’   car la direction du mouvement est parallèle à  x   et de même sens que l’axe   x . De plus la vitesse du référentiel est toujours constante. (voir schéma ci-dessous).

          Pour fixer les idées, le référentiel   b   se déplace dès le départ par rapport à   a   et au moment précis où les origines dans les deux référentiels coïncident, les gardes temps sont démarrés. Le référentiel   b   ne se met donc pas en mouvement car dans le cas contraire il faudrait tenir compte d’une accélération.

En observant les deux graphes, nous pouvons déterminer le déplacement de l’origine de   b   par rapport à celle de   a   et inversement. En effet quand   x’= 0   alors les coordonnées de l’origine de b   dans le référentiel   a   est de   x = vt   (   t   car c’est par rapport au référentiel   a  ). Et quand   x = 0 , les coordonnées de l’origine de   a   par rapport à   b   sont de   x’ = -vt’   (   -   car la direction du mouvement est opposée, c’est comme si   a   se déplaçait par rapport à   b   en s’éloignant dans la direction des   x   négatifs). 

Or si   x’ = -vt’   alors   x’ + vt’= 0 . Dès lors nous pouvons dire que  

x = k . (x’ + vt’)   car   x = 0 et x’+ vt’ = 0 . (   k   est une constante, or zéro fois une constante reste égal à zéro). Inversement   x’ = k . ( x – vt) . La constante k est la même pour les deux équations puisque les deux différentiels se meuvent l’un par rapport à l’autre. Si nous observons ces deux équations, nous pouvons voir que quand   k = 1   nous obtenons alors les mêmes équations que celles de la transformation de Galilée ;   k = 1 quand   v   est très petit. Que se passe t’il quand   k   est différent de   1 . Pouvons-nous trouver une équation nous permettant de calculer sa valeur ?

Nous allons utiliser le principe de la constance de la vitesse de la lumière qui a été énoncé dans le point 3.1.

Émettons un signal lumineux de l’origine des référentiels au moment où ceux-ci sont confondus, et soit   r   la coordonnée du récepteur placé sur l’axe   x   et donc sur   x’ .

Comme   t   est le temps mesuré dans le référentiel   a   pour que le récepteur reçoive l’information, nous pouvons écrire   x = c t   avec   c   la vitesse de la lumière.

Comme   t’   est le temps mesuré dans le référentiel   b   pour que le récepteur reçoive l’information, nous pouvons écrire   x’ = ct’ .

Or nous savons que   x = k ( x’ + vt’ )   et que   x’ = k (x – vt )   et que ces deux équations doivent obéir à une loi de correspondance étant donné que le déplacement de   a   par rapport à   b   est réciproque. Si nous multiplions ces deux équations membre à membre nous obtenons :

x x’ = k ( x’ + vt’) k ( x – vt) et comme x = ct et x’ = ct’

Donc, c² tt’ = k² ( ct’ + vt’) ( ct – vt)

c² tt’ = k² ( c² - v²) tt’

Nous pouvons simplifier cette équation :           k² = c² / ( c²- v²)

mettons c² en évidence dans le numérateur et dans le dénominateur, et simplifions les c² : k² = 1 / ( 1- v²/c²)

Donc   k = 1 /     ( 1- v²/c²)1/2     posons   β = v / c   l’équation devient donc

k =1 /  (1 – β²)1/2

Dans la vie courante, par rapport à la vitesse de la lumière, les vitesses pouvant être atteintes peuvent être considérées comme très petites. Or quand   v <<< c   alors  k = 1 .

Nous ne faisons pas une grande erreur en admettant cela même si la vitesse observée est de l’ordre de 30 km/s, ce qui est la vitesse orbitale de la Terre. Nous obtenons donc pour des vitesses petites la même équation que celle de la transformation de Galilée.

Maintenant à quoi va nous servir la transformation de Lorentz ?

La réponse est : montrer que l’hypothèse de temps absolu, l’invariabilité du temps, doit être abandonnée ; le temps varie !


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